De verdelingsfunctie van aandelenreturns

Gertjan

Verdickt

De beurs voorspellen? Het is mogelijk!

Steeds zal het iemands bedoeling zijn om een comfortabele return te krijgen op het geld dat hij/zij zal beleggen. Met return bedoelen we het percentage groei van een effect, eventueel met dividenden, over een bepaalde periode. Risico en return zijn twee samenhangende componenten bij de prestaties van beleggingen. Wanneer iemand zijn gewenste return weet, weet hij ook het risico die aan de bepaalde belegging verbonden is. De return van beleggingen kan het beste worden beschreven volgens een verdelingsfunctie. Een verdelingsfunctie is de weergave van het verloop van een toevalsvariabele. We gaan net die functie gebruiken om de beurs te gaan voorspellen.

Een belangrijk punt is dat we als belegger meer geïnteresseerd zijn in de return van een aandeel dan in de prijs. Bedenk twee effecten met respectievelijke waarde 5 en 50. De keuze tussen een van beide zal vrij moeilijk zijn door een gebrek aan informatie. Maak vervolgens de selectie tussen twee effecten met een return van 5% of van 50%. Die keuze zal een stuk eenvoudiger zijn.

Een ander belangrijk punt is dat prijsveranderingen geen autocorrelatie bevatten (en aandelenprijzen wel). Autocorrelatie meet de samenhang van opeenvolgende elementen in een tijdsreeks. Wanneer een reeks data deze eigenschap in zich heeft, is het volgende element uit de reeks veel eenvoudiger te voorspellen. Het negatieve van die eigenschap is dat er veel statistische toetsen niet meer kunnen uitgevoerd worden. Dit is een tweede reden waarom we gebruik maken van prijsveranderingen i.p.v. prijzen op zich.

Normale verdeling

De traditionele finance-theorieën gaan uit van een normale verdeling als onderliggende verdelingsfunctie. Dit komt doordat de normale verdeling enkele aangename eigenschappen in zich heeft. Los van zijn eenvoud, is de som van twee normaal verdeelde toevalsvariabelen ook normaal verdeeld. Dit is handig wanneer we verschillende aandelen bekijken, we ook de portefeuille in zijn totaliteit op dezelfde manier kunnen behandelen. Daarnaast heeft de normale verdeling ook de eigenschap dat data met voldoende elementen en een (redelijk) normaal verdeelde vorm, volgens de centrale limietstelling bij benadering normaal verdeeld zijn.

Het failliet van de normale verdeling

Hoewel de normale verdeling dus een erg interessante oplossing lijkt, blijkt dit in realiteit echter niet van toepassing te zijn. De eerste aanval op deze assumptie werd reeds in 1963 door Mandelbrot geplaatst. Hij stelde dat de verdeling van prijsveranderingen een significant hogere piek heeft tegenover de normale verdeling. Een bepaalde reden waarom de normale verdeling niet voldoet als beschrijving, komt door de “staarten” van de verdeling. De staart van de verdeling geeft informatie over de kans op een enorm groot of klein resultaat. Binnen de normale verdeling wordt dit erg onderschat. Hoewel het in werkelijkheid meermaals kan voorkomen dat de beurs bijvoorbeeld 20% zou dalen, wordt die kans volgens de verdeling slechts minimaal beschouwd. Hiervoor moeten we dus een nieuwere verdeling zoeken.

Wanneer we die conclusies toetsen op de Eurostoxx 50, komen we tot gelijkaardige resultaten. Zowel via een statistische tests, als via een relatieve frequentietest, moeten we de hypothese van normale verdeling verwerpen. Het bleek dat er meer relatieve frequentie zat binnen 0 en 1.5 standaardafwijkingen weg van het gemiddelde, wat dus in een hogere piek resulteert (cfr. figuur 1).

Lévy processen

We zijn dus op zoek naar processen of modellen die de (financiële) realiteit beter benaderen én bruikbaar zijn in de analyse. De gewenste verdeling moet: (1) extreme gebeurtenissen beter in kaart brengen, (2) een semi-zware staart heeft en (3) de mogelijkheid heeft tot sprongen in zowel aandelenkoersen, als in volatiliteit. Een vaak voorgestelde oplossing zijn dan de Lévy processen. Er bestaan echter verschillende varianten, zoals het variance gammaproces van Madan en Senata. Dergelijke processen stappen af van de normale verdeling als de onderliggende verdelingsfunctie van aandelenrendementen. Dit houdt in dat de financiële realiteit veel beter kan worden voorgesteld en dat het beter geïmplementeerd kan worden. In ons geval kunnen we de beurs dan veel consistenter en preciezer gaan voorspellen.

Simulatie

We simuleren we het variance gammamodel voor respectievelijk één en twee weken uit 2001. Voor de simulatie van het VG-model laten we het proces 5000 keer doorlopen om zo het beste resultaat eruit te halen. We geven in figuur 2 het gesimuleerde en werkelijke koersverloop grafisch weer.

Wanneer we gebruik maken van simulaties op basis van respectievelijk één en twee weken komen we tot enorm goede resultaten. Hoewel we de exacte koersevolutie niet kunnen voorspellen, liggen de twee eindwaarden wel erg dicht bij wat de gesimuleerde koersevolutie ons geeft. Voor de simulatie van één week zitten we slechts €5 van de werkelijke koersevolutie, bij de simulatie van twee weken zien we een verschil van slechts €3. Kim (1986) wees op het feit dat rationaliteit (of irrationaliteit) van beleggers iets was wat, vanuit een wiskundig standpunt, onmogelijk in kaart kon gebracht worden. We verwijzen naar Lo (2004) die binnen het concept adaptive markets hypothese meer gebruikt maakte van behavioral finance. Dit menselijk gegeven is iets wat we niet in het variance gammamodel hebben verwerkt.

Besluit

De conclusie is dat het variance gammaproces de beste simulaties gaf, hoewel de verdeling niet de beste beschrijving is voor de index. We kunnen die simulaties echter niet gebruiken voor de exacte beschrijving van de koersevolutie aangezien het menselijke aspect quasi onmogelijk in kaart te brengen valt. Hoewel het verschil minder dan €3 bedraagt, is dit verschil te groot om precieze analyses op toe te passen. Echter geeft het wel het juiste verloop weer van de index. Dus er zit hoge graad van voorspellende kracht in het model.

Dit wil daarom niet zeggen dat deze meesterproef gefaald is zijn opzet. De verdelingsfunctie van returns blijkt nog frequent gebruikt te worden als bijvoorbeeld een assumptie voor de prijszetting van afgeleide producten. Vooral het variance gammamodel wint steeds meer aan interesse als het onderliggende model binnen de financiële wiskunde.

Bibliografie

Alptekin, N. (2006). Long Memory Analysis of USD/TRL Exchange Rate. International Journal of Human and Social Sciences, 1(2), 111-116.

Bachelier, L. (1900). Théorie de la spéculation. Annales scientifiques de L'E.N.S, 3(17), 21-86.

Barbieri, A., Dubikovsky, V., Gladkevich, A., Goldberg, L. R., & Hayes, M. Y. (2009). Central Limits and Financial Risks. New York: MSCI.

Beirlant, J., Dierckx, G., & Guillou, A. (2005). Estimation of the extreme-value index and generalized quantile plots. Beirnouilli, 11(6), 949-970.

Beirlant, J., Schoutens, W., & Segers, J. (2005, March). Mandelbrot's Extremism. Wilmott Magazine(March Issue), pp. 97-101.

Bellini, F., & Mercuri, L. (2012). Option pricing in a conditional Bilateral Gamma model. Milaan: Università degli Studi di Milano.

Bertoin, J. (1996). Lévy processes. United Kingdom: University Press, Cambridge.

Black, F., & Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, 81(3), 637-654.

Blattberg, R. C., & Gondedes, N. J. (1974). A comparison of the stable and student distributions as statistical models for stock prices. Journal of Business, 47(2), 224-280.

Box, G. E., & Ljung, G. M. (1978). On a measure of lack of fit in time series models. Biometrika, 65(2), 297-303.

Carr, P., Geman, H., Madan, D. B., & Yor, M. (2002). The Fine Structure of Asset Returns: An Empirical Investigation. Journal of Business, 2, 305-332.

CBOE. (2012, Januari 5). CBOE. Opgehaald van VIX-Index: http://www.cboe.com/micro/VIX/vixintro.aspx

Cont, R. (2001). Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance(1), 223-236.

Cont, R. (2004). Long range dependence in ﬁnancial markets. Palaiseau: Centre de Mathématiques appliquées, Ecole Polytechnique.

Cont, R. (2005). Volatility Clustering in Financial Markets: Empirical Facts and Agent–Based Models. Palaiseau: Centre de Mathématiques appliquées, Ecole Polytechnique.

Cont, R., & Tankov, P. (2000). Financial Modelling with Jump Processes. Florida: CRC Press.

Cuppens, R., & Lukacs, E. (1970). On the Domains of Definition of Analytic Characteristic Functions. Annals of Mathematical Statistics, 41(3), pp. 1096-1101.

De Grauwe, P. (2008). The Banking Crisis: Causes, Consequences and Remedies. Centre for European Polcy Studies(178), 1-11.

Defusco, R. A., McLeavey, D. W., Pinto, J. E., & Runkle, D. E. (2007). Quantitative Investment Analysis. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

Eberlein, E., & Keller, U. (1995). Hyperbolic distributions in finance. Bernoulli, 1(3), pp. 281-299.

Fama, E. F. (1963). Mandelbrot and the Stable Paretian Hypothesis. The Journal of Business, 36(4), 420-429.

Fama, E. F. (1965). The Behavior of Stock-Market Prices. The Journal of Business, 38(1), 34-105.

Fama, E. F. (1970). Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work. The Journal of Finance, 25(2), 383-417.

Fama, E. F. (1976). Foudations of Finance. New York: Basic Books.

Fiorani, F. (2004). Option Pricing Under the Variance Gamma Proces. Trieste: Università Degli Studi Di Trieste.

Fiorani, F., Luciano, E., & Semeraro, P. (2007). Single and joint default in a structural model with purely discontinuous assets. Turijn: Collegio Carlo Alberto, Working Paper No. 41.

French, C. W. (2003). The Treynor Capital Asset Pricing Model. Journal of Investment Management, Vol. 1, No. 2, pp. 60-72.

FTSE. (2010). Free Float . Opgehaald van Financial Times Stock Exchange: http://www.ftse.com/Indices/FTSE_All_World_Index_Series/Index_Rules/Eli…

Guillaume, F., & Schoutens, W. (2012, Maart 6). A moment matching market implied calibration. Department of Mathematics. Leuven: K.U. Leuven.

Heston, S. (1993). A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review for Financial Studies, 6(2), 327-343.

Hudson, R. S. (2010). Comparing Security Returns is harder than you think: problems with Lagarithmic Returns. Newcastle: Newcastle University Business School.

Hull, J. (2011). Options, Futures and Other Derivatives. London: Pearson Education.

Hurst, H. E. (1951). Long-Term Storage Capacity of Reservoirs. Transactions of the American Society of Civil Engineers, 116, 770-799.

Itô, K., & Nisio, M. (1964). On stationary solutions of a stochastic differential equation. Journal of Mathematics of Kyoto University, 1-75.

Jorion, P. (2006). Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. McGraw-Hill.

Keim, D. B. (1983). Size-related Anomalies and Stock Return Seasonality. Journal of Financial Economics, 12, 13-32.

Kendall, M. G. (1953). The Analysis of Economic Time-series-Part1: Prices. Journal of Royal Statistical Society, Series A (General), 116(1), 11-34.

Kim, K. Y. (1986). The Role of Risk Aversion in the Determination of Equilibrium Stock Prices and their Variability. Philadelphia: Rodney L. White Center for Financial Research.

Kuchler, U., & Tappe, S. (2008). Bilateral Gamma distributions and processes in finnancial mathematics. Stochastic Processes and their Applications, 118(2), 261-283.

Kwiatkowski, D., Phillips, P. C., Schmidt, P., & Shin, Y. (1992). Testing the Null Hypothesis of Stationarity against the Alternative of a Unit Root. Journal of Econometrics(Vol. 52), 159-178.

Lambrecht, K. (2008, November 25). Kapitaalverhoging duwt AB InBev vijfde lager. Opgeroepen op Maart 25, 2012, van De Tijd: http://www.tijd.be/nieuws/ondernemingen_consumptie/Kapitaalverhoging_du…

Lau, A. H.-L., Lau, H.-S., & Wingender, J. R. (1990). The Distribution of Stock Returns: New Evidence against the Stable Model. Journal of Business & Economic Statistics, 8(2), 217-223.

LeRoy, S. F. (1973). Risk Aversion and the Martingale Property of Stock Prices. International Economic Review, 14(2), 436-446.

Li, D. X. (2000). On Default Correlation: A Copula Function Approach. New York: RiskMetrics.

Lo, A. W. (1991). Long-Term Memory in Stock Market Prices. Econometrica, 59(5), 1279-1313.

Lo, A. W. (2004). The Adaptive Markets Hypothesis: Market Efficiency from an Evolutionary Perspective. Journal of Portfolio Management, Forthcoming, 1-33.

Lo, A. W., & MacKinlay, C. A. (1988). Stock Market Prices Do Not Follow Random Walks. The Review of Financial Studies, 1(1), 41-66.

Lock, D. B. (2007). The Taiwan stock market does follow a random walk. Economics Bulletin, 7(3), 1-8.

Luciano, E., & Schoutens, W. (2005). A Multivariate Jump-Driven Financial Asset Model. K.U.Leuven. Leuven: U.C.S.

Madan, D. B., & Seneta, E. (1987). Chebyshev polynomial approximations for characteristic function estimation: some theoretical supplements. Journal of the Royal Statistical Society, 49(2), 163-169.

Madan, D. B., & Seneta, E. (1990). The Variance Gamma (V.G.) Model for Share Market Returns. The Journal of Business, 63(4), 511-524.

Madan, D. B., Carr, P. P., & Chang, E. C. (1998). The Variance Gamma Process and Option Pricing. European Finance Review, 2, 79-105.

Malmkjaer, K. (1991). The Linguistics Encyclopedia. London: Routledge.

Mandelbrot, B. (1963). The Variation of Certain Speculative Prices. The Journal of Business, 36, 394-419.

Mandelbrot, B. (1972). Statistical Methodology For Nonperiodic Cycles: From The Covariance To Rs Analysis. Annals of Economic and Social Measurement, 1(3), pp. 259-290.

Mandelbrot, B. (2004). The (mis)behaviour of markets. United States: Basic Books.

Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. The Journal of Finance, 7(1), 77-91.

Massey, F. J. (1951). The Kolmogorov-Smirnov Test for Goodness of Fit. Journal of the American Statistical Association, 43(253), 68-78.

Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.

Merton, R. C. (1976). Option Pricing When Underlying Stock Returns are Discontinuous. Journal of Financial Economics, 3(1), 125-144.

Merton, R. C., & Samuelson, P. A. (1974). Fallacy of Log-normal Approximation to Optimal Portfolio Decision-Making Over Many Periods. Journal of Financial Economics, 1(1), 67-94.

Minsky, H. (1987). Can "it" happen again? M.E. Sharpe.

Moody's. (2012, Januari 4). CDOROM. Opgeroepen op Mei 10, 2012, van Moody's: http://www.moodysanalytics.com/Products-and-Solutions/Structured-Analyt…

Moody's Investors Service. (2012). Rating Action: Global Credit Research. London: Moody's.

Moosbrucker, T. (2006). Pricing CDOs with Correlated Variance Gamma Distributions. University of Cologne. Köln: Deparment of Banking.

New York Stock Exchange. (2000, Januari 5). Frequently Asked Questions. Opgeroepen op Mei 10, 2012, van New York Stock Exchange: http://www.nyse.com/content/faqs/1042235995602.html?cat=Listed_Company_…

Osborne, M. F. (1959). Brownian Motion in the Stock Market. Operations Research, 7(2), 145-173.

Peters, E. F. (1991). Chaos and order in the capital markets. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Praetz, P. D. (1973). Random Walks and Investment Theory. Journal of the Institute of Actuaries Students' Society, 20(3), 202-215.

Qian, B., & Rasheed, K. (2004). Financial Engineering and Applications. Hurst Exponent and Market Predictability (pp. 203-209). Cambridge: IASTED conference.

Rachev, S. T., Menn, C., & Fabozzi, F. J. (2005). Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distibutions. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Ltd.

Rogers, L. C. (1997). Arbitrage with fractional Brownian motion. Math Finance(7), 95-105.

Rozeff, M. S., & Kinney, W. R. (1976). Capital Market Seasonality: The Case of Stock Returns. Journal of Financial Economics, 3(4), 379-402.

Schoutens, W. (2003). Lévy Processes in Finance. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd.

Schoutens, W. (2008). The World of VG. Leuven: EURANDOM.

Sewell, M. (2011). Characterization of Financial Time Series. London: UCL Department of Computer Science.

Sharpe, W. F. (1964). Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk. The Journal of Finance, 19(3), 425-442.

Stoxx. (2011, Januari 2). Components of Eurstoxx 50. Opgeroepen op September 19, 2011, van Stoxx: http://www.stoxx.com/indices/index_information.html?symbol=SX5E

Stoxx. (2011, December 1). Stoxx news 01/12/2011. Opgeroepen op Juni 5, 2012, van Stoxx: http://www.stoxx.com/download/news/2011/stoxxnews_20111201.pdf

Stoxx. (2012, Juni 1). Index Factsheet Stoxx All Europe 100. Opgeroepen op Juni 13, 2012, van Stoxx: http://www.stoxx.com/download/indices/factsheets/sxebcp_fs.pdf

Stoxx. (2012, Juni 1). Stoxx news 01/06/2012. Opgeroepen op Juni 5, 2012, van Stoxx: http://www.stoxx.com/download/news/2012/stoxxnews_20120601.pdf

Taleb, N. N. (1996). Dynamic Hedging. New York: John Wiley Inc.

Taleb, N. N. (2008). De Zwarte Zwaan - de impact van het hoogst onwaarschijnlijke. Amsterdam: Uitgeverij Nieuwezijds.

Tankov, P. (2007, September). Lévy processes in finance and risk management. Wilmott Magazine, pp. 1-19.

The Wall Street Journal. (2012, April 6). 'London Whale' Rattles Debt Market. The Wall Street Journal, p. A1.

Williams, D. (1991). Probability with Martingales. Cambridge: Press Syndicate of the University of Cambridge.

Wilmott, P. (2006). Paul Wilmott on Quantitative Finance. West Sussex: John Wiley & Sons Ltd.