Kwantitatieve dikte- en positiebepaling van atoomkolommen uit een complexe elektronen uittreegolf gebruik makend van statistische parameterschattingstheorie

Een vast kristallijn materiaal wordt gevormd door een stapeling van atomen in een vast rooster. De chemische samenstelling en de positie van de atomen bepalen welk materiaal uiteindelijk gevormd wordt.
Voor matereriaalonderzoek is het van groot belang dat de structuur van materialen goed begrepen wordt. Theoretici proberen namelijk om eigenschappen van materialen te voorspellen door gebruik te maken van deze structuur. Experimentatoren proberen daarom vanuit experimentele gegevens een zo goed mogelijk beeld te vormen van de structuur van materialen. Een belangrijke techniek om zich een beeld te vormen over de structuur van het materiaal en over de atoomposities is hoge resolutie elektronenmicroscopie (HREM). Een voordeel van deze techniek ten opzichte van andere methoden is dat ze niet enkel rekening houdt met de oppervlakte atomen, maar dat er een projectie wordt gevormd van een drie dimensioneel object. Bij elektronenmicroscopie wordt er immers gebruik gemaakt van hoog energetische elektronen die langs boven op het sample gericht worden. Ze bewegen en interageren door het sample en er wordt onderaan de microscoop een beeld gevormd van de elektronen die door het sample zijn geraakt. Hierdoor verkrijgt men een projectie van het sample op het vlak onderaan in de elektronenmicroscoop. De beelden van HREM worden meestal visueel geïnterpreteerd, wat uiteraard leidt tot een beperking. Men kan immers geen getalwaarden, nauwkeurigheden en precisies bepalen op de structuurparameters zoals de dikte en de posities van de atoomkolomen. Het streefdoel is echter om atoomposities te bepalen met een presicie van 0,1 tot 0,01 Angstrom. Dit is een afstand die gelijk is aan 0,00000000001 meter.  Het is namelijk op deze schaal dat materiaaleigenschappen veranderen.
Het doel van deze thesis is het zo precies mogelijk bepalen van structuurparameters die de driedimensionale structuur van een kristallijn materiaal beschrijven. De structuurparameters die hier onderzocht worden zijn de posities van de atoomkolommen en het aantal atomen in deze kolommen.
 
Een manier om numerieke waarden te verkrijgen is gegeven door statistische parameterschattingstheorie. Dit is een theorie waar men getallen kan verkrijgen doordat men de getallen gaat zoeken waarvoor een bepaald model het beste de waarnemingen benadert.  In dit onderzoek zijn de waarnemingen de pixelwaarden van een gereconstrueerde uittreegolf verkregen door middel van HREM. De uittreegolf is de elektronengolf die in de elektronenmicroscoop gevormd wordt in het vlak juist achter het sample. Het model dat gebruikt wordt is gebaseerd op de elektronen channelingtheorie. Deze theorie geeft een wiskundige uitdrukking voor de uittreegolf die afhankelijk is van de positie van de atoomkolommen en van het aantal atomen in een atoomkolom.
 
Omdat nagegaan wordt voor welke waarden van de posities het model het beste de waarnemingen beschrijft, zal men een gemiddelde waarde voor de posities vinden en een standaardafwijking. Door gebruik te maken van statistische parameterschattingstheorie kan er dan ook een ondergrens bepaald worden op deze standaardafwijking. Deze ondergrens wordt de Cramer-Rao Lower Bound (CRLB) genoemd en geeft dus eigenlijk een maat voor de best haalbare precisie die men kan bereiken. Het blijkt dat de dikte van atoomkolommen geschat kan worden met een precisie van ongeveer 0.5 angstrom en de posities van de kolommen met een precisie van 0.02 angstrom.
In deze thesis toon ik ook aan dat de ondergrens wel degelijk gehaald kan worden door de Maximum Likelihood schatter (Dit is de meest waarschijnlijke schatter) toe te passen op gesimuleerde uittreegolven.
Tot slot zal er ook onderzocht worden hoe de CRLB verandert als functie van
de dikte van de atoomkolom en de afstand tussen twee atoomkolommen. Zo bleek dat het veel moeilijker wordt om de posities exact te schatten als de atoomkolommen zich dicht bij elkaar bevinden. De dikte van de atoomkolommen had geen invloed op de haalbare ondergrens.